هل قمت بحلها؟ كيف قطع الحلق أنت؟ | الرياضيات

في وقت سابق من اليوم، وضعت لكم هذا اللغز من قبل أحد كبار علماء المنطق في العالم حول مجموعة من خمسة فلاسفة متعطشين للسلطة. وهنا مرة أخرى مع الحل.

المجلس الحاكم للفيلسوف

في أرض الفلسفة القديمة، يوجد مجلس حاكم مكون من خمسة فلاسفة، مرتبة خطيًا حسب القوة والهيبة، مع العديد من الفوائد المصاحبة المتراكمة في ترتيب هذه المرتبة. الفيلسوف 1 هو الملك الفيلسوف المعترف به، وهو الأقوى، ثم الفيلسوف 2 وهكذا.

لقد حان الوقت لاختيار مجلس جديد، ووفقًا للإجراء المتفق عليه منذ فترة طويلة، يقترح الفيلسوف الأدنى مرتبة مجلسًا جديدًا وتصنيفًا جديدًا. يمكن للمجلس المقترح حديثًا أن يضم من حيث المبدأ أي مواطن على الإطلاق من فيلوسوفيا – ولا يقتصر المرشحون على أعضاء المجلس الحاليين، على الرغم من أنه من الغريب أنه عادة ما يتكون المجلس الجديد من أعضاء المجلس السابقين. ونظرا للاقتراح الجديد، يصوت المجلس. إذا وافقت الأغلبية، فهذا هو المجلس الجديد والترتيب الجديد؛ بخلاف ذلك، يتم طرد الفيلسوف الأقل مرتبة من المجلس ويقدم الفيلسوف التالي الأقل مرتبة اقتراحًا. وتستمر هذه العملية حتى تتم الموافقة على المجلس الجديد والتصنيف.

كما ذكرنا سابقًا، فإن هؤلاء الفلاسفة هم حشد أناني، عازمون جميعًا على أن يصبحوا الملك الفيلسوف للمجلس الجديد. يفضل كل عضو أن يكون في المجلس الجديد فوق كل شيء آخر، ولن يصوت أبدًا لصالح مجلس ليس عضوًا فيه. ثانيًا، كونهم في المجلس المقترح، فإنهم يفضلون الحصول على أعلى رتبة ممكنة (أي رقم منخفض – كون الفيلسوف 1 هو الأفضل، 2 هو ثاني أفضل، وهكذا). ثالثا، نظرا لأنهم سيكونون في المجلس برتبة معينة، فإنهم يفضلون أن يكون المجلس صغيرا قدر الإمكان، حتى لا يضطروا إلى تقاسم السلطة دون داع (لكن يفضل الرتبة الأعلى في مجلس أكبر).

الفيلسوف 5، الفيلسوف الأقل مرتبة يبدأ باقتراح مجلس ورتبة.

هل يمكنك اقتراح اقتراح يضمن أن يصبح الفيلسوف 5 ملكًا للفيلسوف؟

حل

كما ذكرت في المنشور الأصلي، يمكنك حل اللغز من خلال العمل بشكل عكسي. من أجل معرفة ما سيقترحه الفيلسوف 5، يبدو أننا بحاجة إلى معرفة ما سيقترحه الفيلسوف 4 بالفعل، حيث أن ذلك سيكون البديل إذا صوتنا ضد اقتراح الفيلسوف 5.

لنبدأ بالحالة الأسهل، حيث يكون للمجلس فيلسوف واحد فقط، وهو الملك. وفي هذه الحالة، سيكون الفيلسوف الأدنى مرتبة، ويمكنه أن يقترح أن مجلس الحكم الجديد هو نفس مجلس الحكم القديم، وأن يكون عضوًا فيه فقط. ومن الواضح أن هذا هو الوضع المرغوب فيه، بحسب القيم الفيلسوفة التي ذكرناها، ولذلك سيصوت لصالحه وسيتم اعتماد الخطة.

إذا كان هناك فيلسوفان حاليًا في المجلس، فيجب على الفيلسوف 2 أن يقترح خطة سيتم تمريرها بالإجماع، لأن هذه هي الطريقة الوحيدة للحصول على أغلبية اثنين. لكن الفيلسوف 1 لن يوافق على أي خطة سوى خطة وجوده في المجلس وحده، لأن هذا ما يمكنه تحقيقه إذا تم رفض خطة الفيلسوف 2. وقلنا أن الفيلسوفة 2 لن تصوت إلا للموافقة على خطة تكون فيها في المجلس. لذلك سيتم رفض اقتراح الفيلسوف 2، مهما كان، وسننتهي في النهاية بمجلس الفيلسوف العادل 1.

إذا كان هناك ثلاثة فلاسفة في المجلس، فإن الفيلسوف 3، الذي يحتاج إلى صوتين، سيقترح مجلسًا من اثنين، يتكون من نفسه كملك والفيلسوف 2 كعضو تالي. وهذا سيوافق عليه الفيلسوفان 2 و 3، إذ كلاهما يفضله على نتيجة قضية الفيلسوفين. علاوة على ذلك، هذا هو أفضل ترتيب ممكن للفيلسوف 3، حيث تم تعيينه ملكًا في مجلس من الحجم الثاني.

إذا كان هناك أربعة فلاسفة حاليًا، فإن الفيلسوف 4 يحتاج إلى ثلاثة أصوات. لن تحصل على صوت الفيلسوف 3، الذي سيكون في وضع جيد جدًا إذا تم رفض خطتها، لكن يمكنها الحصول على موافقة لمجلس من ثلاثة أعضاء يتكون من الفيلسوف 2، نفسها، والفيلسوف 1، بهذا الترتيب. سيصوت كل من هؤلاء الثلاثة بالموافقة، حيث أنهم أفضل حالًا بهذا من البديل، وهذا أيضًا أفضل ما يمكن للفيلسوف 4، لأنها تحتاج إلى مجلس من ثلاثة أعضاء، ولكن يجب أن تجعل الفيلسوف 2 أفضل حالًا، وهكذا يجب أن يصبح الفيلسوف 2 ملكًا (أو ينبغي أن نقول ملكة)، ثم الفيلسوف 4 بعد ذلك، وهو الأمثل، ثم الفيلسوف 1 سيكون الثالث، وهو أفضل مما سيحصل عليه بموجب الاقتراح المنافس للفيلسوف 3.

لنتأمل الآن حالة خمسة فلاسفة في المجلس. يحتاج الفيلسوف رقم 5 إلى ثلاثة أصوات، وبالتالي سيقترح مجلسًا من الحجم الثالث، وبالفعل يمكنه اقتراح المجلس: نفسه، الفيلسوف 1، الفيلسوف 3، بهذا الترتيب. الفيلسوف 5 يحب هذا جيدًا، حيث يصبح ملكًا، والفيلسوف 1 يفضل ذلك على خطة الفيلسوف 4 السابقة، لأنه سيحصل على المرتبة الثانية بدلاً من المرتبة الثالثة. الفيلسوف 3 أيضًا يحب هذه الخطة، لأنه لم يكن ضمن المجلس الذي اقترحه الفيلسوف 4 على الإطلاق.

دعونا نلخص المقترحات على النحو التالي:

إذا كنت تريد قراءة المزيد من المناقشة حول هذا اللغز، فيمكنك العثور عليها في Substack Infinitely More لجون ديفيد هامكينز. (بعض المحتوى مجاني، والبعض الآخر مخصص للمشتركين المدفوعين).

هامكينز، الذي كتب اللغز، هو أستاذ المنطق في أوهارا في جامعة نوتردام وكان سابقًا أستاذًا للمنطق في جامعة أكسفورد. يعد Infinitely More موردًا رائعًا لأي شخص يستمتع بالتقاطع بين الرياضيات والفلسفة. ويتضمن العديد من المقالات، بالإضافة إلى تسلسلات لكتبه وألغازه.

هامكينز نشط للغاية عبر الإنترنت: فهو من بين أعلى 0.01% من المساهمين في MathOverflow.

أتمنى أنكم استمتعتم باللغز اليوم. سأعود خلال أسبوعين.

لقد قمت بإعداد لغز هنا في أيام الاثنين البديلة منذ عام 2015. وأنا دائمًا أبحث عن الألغاز الرائعة. إذا كنت ترغب في اقتراح واحد، راسلني عبر البريد الإلكتروني.